Una de las cosas más extrañas de la matemática es que muchas veces es difícil saber qué estudia una cualquiera de sus ramas. Un buen ejemplo de esto lo tenemos con la geometría . La inequívoca etimología de la palabra nos evoca mediciones de terrenos. Por lo tanto, la geometría sería la parte de la matemática que estudia las figuras, las porciones del plano y sus propiedades.
Rápidamente podemos hacer una extensión del concepto, y englobaríamos dentro de los estudios geométricos las figuras que no son planas: superficies alabeadas, cuerpos sólidos, etc.
En una generalidad creciente, si somos capaces de estudiar espacios de más dimensiones, sus porciones quedarían también dentro del estudio de la geometría. La idea original, como pueden ver, se va desdibujando.
En un ambiente de creciente abstracción como la que ocurrió a mediados y finales del siglo XIX, empezaremos a vez la geometría como el estudio de los subconjuntos de un conjunto general, llegando con Félix Klein a decir que la geometría es el estudio de las propiedades que permanecen invariantes por transformaciones. Cuando más generales son estas transformaciones, más primigenias son las propiedades estudiadas. Tenemos así un conjunto anidado de geometrías diferentes, siendo la topología la más general de todas ellas, por estudiar las propiedades invariantes por homeomorfismos, feo palabro que indica simplemente transformaciones generales continuas (sin romper ni rasgar).
Con los trabajos de Klein se desdibuja la separación entre álgebra y geometría, y empiezan a ser posibles gruesos libros de texto sobre geometría sin dibujo alguno. La tendencia de abstracción crece enormemente con la irrupción del mítico (nunca mejor dicho) matemático Nicolás Bourbaki , llegando a Alexander Grothendieck , con su geometría algebráica a niveles nunca antes alcanzados.
El 5 y 7 de febrero de 1.934, el matemático holandés Van Schouten dió dos conferencias con cuyo título era precisamente ésta pregunta. Según cuenta Raymond Queneau, Van Schouten repasó las diferentes definiciones que desde Klein se han dado de geometría. Después de haber demostrado que ninguna de ellas resultaba completamente satisfactoria, decidió adoptar la de O.
Veblen:
“Se llama Geometría a una rama de las matemáticas que un número suficiente de gentes competentes están de acuerdo en denominar así por razones de sentimiento y de tradición.”
Euclides (en griego ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ, Eukleides) es un matemático griego, que vivió alrededor del año 300 a.C, ~(325 adC) - (265 adC)
Escribió los Elementos, una de las obras más conocidas de la literatura mundial. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Los teoremas que nos enseña Euclides son los que generalmente aprendemos en la escuela.
En 1868 el italiano Eugenio Beltrami publicó Ensayo sobre la interpretación de la Geometría no euclídea, que proporcionó un modelo para la geometría no-euclidiana de Lobatchevsky dentro de la geometría euclídea 3-dimensional.
Consideró una curva llamada tractriz. Una de las propiedades de esta curva es que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con el eje OY es constante. El eje OY es una asíntota. Al girar la curva alrededor de su asíntota se engendra una superficie llamada seudoesfera.
Beltrami hizo notar que la geometría intrínseca de la seudoesfera coincide con la geometría sobre parte del plano de Lobatchevsky. De este modo, esta geometría no euclidiana tiene un perfecto significado real: no es más que una exposición abstracta de la geometría sobre la seudoesfera.
Pero, como hemos mencionado con anterioridad, Beltrami sólo estableció una correspondencia entre la seudoesfera y parte del plano de Lobatchevsky. El problema de dar una interpretación real a todo el plano y el espacio quedaba sin solventarse. La solución fue dada más tarde por el matemático alemán Klein (1849-1925).
Las ideas más generales del modelo que propuso Klein en 1870 para esta particular geometría son las siguientes: En un plano usual tomamos el interior de un círculo; un punto se considera como un punto; una recta, como una cuerda (excluyendo los extremos); un movimiento se toma como una transformación que transforma el círculo en sí mismo y las cuerdas en cuerdas; la situación de los puntos (un punto está sobre una recta; un punto está entre otros dos) se considera con el sentido usual. La regla para medir longitudes y ángulos (y también áreas) se deduce de la forma en que se definen los movimientos; la igualdad de segmentos y ángulos (o de figuras arbitrarias) también se define, y esta misma definición es aplicable a la operación de transportar un segmento a lo largo de otro.
Con todas estas condiciones, a cada teorema de la geometría de Lobatchevsky en el plano corresponde un hecho verdadero de la geometría de Euclides dentro del círculo, y viceversa: todo hecho de este tipo se puede reinterpretar en forma de un teorema de la geometría de Lobatchevsky.
Pero aún fue más lejos: diseñó un modelo para el espacio de esta geometría. Análogamente al caso del plano, consideró una el interior de una esfera.
Una recta se interpreta como una cuerda, un plano como un círculo cuya circunferencia esté sobre la esfera; pero la superficie de la esfera, y por tanto los puntos extremos de las cuerdas y las circunferencias de esos círculos, se excluyen; finalmente, un movimiento se define como una transformación de la esfera en sí misma que transforma cuerdas en cuerdas.
Cuando se dio este modelo de la geometría de Lobatchevsky se estableció al mismo tiempo que su geometría tiene un significado real sencillo. La geometría de Lobatchevsky es válida porque se puede tomar como exposición concreta de la geometría en un círculo o en una esfera. Al mismo tiempo se probó su carácter no contradictorio: sus resultados no pueden llevar a contradicciones porque cada uno de ellos se puede trasladar al lenguaje de la geometría euclidiana ordinaria dentro del círculo (o una esfera si se trata de la geometría de Lobatchevsky en el espacio).